Aristarco y las medidas a la luna

[sagitario blues]

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Aristarco se adueñó de la Luna y el Sol

¿Podrán los alumnos medir la Luna? ¿Y la distancia a que está de nosotros?

La literatura dice que Aristarco de Samos fue el primer hombre que se aventuró a medir distancias estelares. Este sabio vivió en el siglo III antes de nuestra era y si bien la patria de su espíritu fue la Cultura su cuerpo nació en la Isla de Samos, sita en el mar Egeo. De sus obras nada queda: el proto-cristianismo quemó la biblioteca de Alejandría. Si algo sabemos de su razón es porque otros genios escribieron sobre su trabajo excelso, entre ellos el inmortal Arquímedes.

Aristarco fue uno de los primeros en proponer el sistema heliocéntrico, aunque la falta de verificación de la paralaje estelar fue una muy dura prueba para las mentes conservadoras de todos los tiempos. La objeción de los cultos al sistema heliocéntrico, era la siguiente:

Si la Tierra gira en torno al sol, entonces debe de poder observarse una variación en la posición aparente de las estrellas fijas, puesto que varía la posición espacial del observador a lo largo del año.

El argumento es muy fuerte. Ante él, Aristarco contestó una inversión de la prueba, es decir, basado en la misma ausencia de la paralaje:

Las estrellas están extremadamente lejos; luego, su paralaje es inapreciable.

Recordemos que los hombres medimos la primera paralaje en el año 1838, dos milenios después de aquellas cavilaciones. El logro cupo a Friedrich Bessel y la estrella mensurada fue 61 Cygni.

Aristarco se propuso medir la proporción entre las distancias Tierra- Sol y Tierra- Luna.

Esta empresa fue notoria, la realizó del modo que sigue:

Imaginó que, cuando la Luna mostrara su fase de cuarto, la posición de los astros Luna (L), Tierra (T) y Sol (S) formarían un triángulo rectángulo en el cielo. Esta hipotética figura celestial estaría compuesta por:

Los catetos Tierra-Luna (TL), Luna-Sol (LS),

Y la hipotenusa Tierra-Sol (TS).

El ángulo recto debía de ser el ángulo que vincula los catetos TL y LS; el vértice menor estaría formado por el cateto LS y la hipotenusa TS. El ángulo que Aristarco se propuso medir fue el que formaría el cateto TL con la hipotenusa TS. Si lo lograba, podría saber qué tan extenso era el Mundo.

Su estima le dio que este ángulo era de 87° (en realidad es de 89°45´), de modo que sus esfuerzos le condujeron a una proporción entre los catetos de 20 a 1 (cuando lo correcto es 400 a 1). Es decir, por ser el tamaño aparente de Luna igual al de Sol, la proporción de 400 a 1 indica que el Sol está situado a 400 distancias Tierra-Luna. Aun así el método utilizado por Aristarco para el cálculo fue correcto y la medida obtenida por el genio, un Sol sito 20 veces más lejos que la Luna, derivó en una imagen del tamaño del Universo muy difícil de aceptar en el siglo II AC.

El experimento referido dice que Aristarco quiso medir la proporcionalidad entre las distancias Tierra Luna y Tierra Sol. Esto quiere decir que si se concebía una de las distancias la otra surgiría de tal comparativa.

¿Cómo medir el diámetro de la Luna?

Los cuerpos lejanos se muestran al hombre por medio de perspectiva. Esta se basa en juegos de apariencias originados por la propagación rectilínea de la luz. Un cuerpo se empequeñece a medida que se aleja. Si está lo suficiente distante, puedo imaginar que mi visión parte de un punto focal y que el diámetro aparente del objeto observado será el cateto menor de un triángulo imaginario. El cateto restante y la hipotenusa tienden a igualarse si la distancia es extrema, como lo es en el caso de distancias astronómicas.

La luna se muestra en el cielo bajo un ángulo de 0,5°.* Es decir, el diámetro Lunar cabe casi 700 veces en la circunsferencia (en la elipse) de la órbita lunar en derredor de la Tierra **

Asimismo, y mediante el apoyo de un elemento que mida el paso del tiempo, puede estimarse el lapso en que un determinado ángulo -o porción de cielo- sea barrido por un astro.

En efecto, Luna barre su espacio aparente (su 0,5 °) en 85´.

Esto no nos dice casi nada… Pero, durante un eclipse, la Luna transita el área aparente que ocupa la sombra de la Tierra en casi 3 horas. Luego, la Luna cabría 2 y pico veces en la sombra de la Tierra. Si conociéramos la medida del diámetro terrestre, las incógnitas desaparecerían***.

Eratóstenes, contemporáneo de Aristarco, aportó con exactitud esta medida faltante.

La Tierra mide unos 40.000 km de circunferencia. Esto es, unos 12.600 km de diámetro. Luego, la Luna debe de medir unos 4.000 km de diámetro (en realidad mide 3.474 Km).

Una forma muy sencilla de estimar el diámetro lunar en nuestros días es a partir de una foto (o realizar un dibujo) del momento en que la Luna sea eclipsada por la sombra terrestre. El arco de sombra proyectado sobre el limbo lunar puede ser completado por medio de un compás y, por simple proporción de figuras, obtener la relación entre los diámetros DT y dL.

Todos estos ejemplos incluirán errores, pero la estima será válida, desde mi punto de vista. Sobre todo si se tiene en cuenta que será realizada por los alumnos en forma voluntaria.

La distancia de la Tierra a la Luna.

Si un astro de 3500 km de diámetro se muestra bajo un arco de 0,5 grados al observador, por comparación de triángulos puedo calcular la distancia a la que este se halla.

Trigonometría o… La fantástica y estrecha relación existente entre los ángulos y los lados de los triángulos.

Jugar con triángulos rectángulos puede deparar una sorpresa. Si tomamos una unidad de medida para los lados de un triángulo y otra unidad para los ángulos de esa figura, podremos verificar que existen secretos vínculos entre las longitudes de esos lados y las amplitudes de tales ángulos. Por ejemplo: dibuja dos triángulos el uno inscripto dentro del otro sobre un ángulo vértice cualesquiera, de catetos o hipotenusa de longitudes arbitrarias; si relacionas por medio de una división los catetos de cada figura entre sí, o uno de los catetos con su hipotenusa, el resultado numérico siempre será el mismo: una constante.

Es decir, si infinitos triángulos rectángulos comparten un segundo vértice, la longitud de sus lados e hipotenusas siempre serán función de ese ángulo.

Esta es una regla que se aplica a triángulos rectángulos inscritos sobre el plano y se conoce desde antaño. Hay registros de su uso desde el 1900 AC.

Los resultados de tales relaciones se han agrupado en tablas llamadas Tablas Trigonométricas o tablas de Funciones Trigonométricas. Más allá de sus nombres difíciles, la relación es sencilla de verificar y constituye una herramienta perfecta para acotar el cielo.

En el caso que nos ocupa, medir la distancia Tierra Luna, la incógnita se resuelve así:

Todo ángulo vértice de 0,5° permite triángulos rectángulos cuyos catetos e hipotenusas se relacionan entre sí por medio de un valor llamado tangente. El valor de la función tangente para el ángulo de 0,5° es de 0,008 aproximado.

Luego, si un cuerpo de 3500 km de diámetro se muestra bajo un arco de 0,5 grado, la distancia a la que este se halla se deriva de las trapisondas que siguen:

Tangente de 0,5° = diámetro real de la Luna / distancia real a la Luna

Si reemplazamos las palabras por los datos obtenidos:

0,008 = 3500km / x

x = 3500 km / 0,008

x= 411.000 km aproximados

*Mediante una dioptra puede medirse un diámetro aparente. Una dioptra es un instrumento muy práctico, muy bien descrito por Herón de Alejandría (inventor de la máquina de vapor). Puede fabricarse una dioptra con el cuerpo de una birome libre de su tanque, un par de clips metálicos (uno por extremo), hilo y plomada, y un círculo graduado o transportador. Asimismo, puede fabricarse con cartulinas y delgados hilos de nilón. Su sentido es que pueda advertir el movimiento fino de los astros y el diámetro aparente de objetos lejanos. La dioptra debe contar con una base móvil en altura o plano vertical (para apuntar a los astros, o para medir ángulos verticales) y en el plano horizontal (para deducir el ángulo que cubre el cuerpo observado). Puede fabricarse una dioptra muy sencilla y práctica con una bicicleta, una plomada, un tubo fino y recto.

** En realidad el diámetro medio aparente lunar es de 31´y 5,2´´. De modo que 360° de circunferencia x 60´= 21.600´ / 31´ de diámetro medio aparente = 697. Esto es: la Luna cabe 697 veces en su circunferencia media.

*** Los eclipses no se producen en cada Luna llena porque el plano de la órbita del satélite alrededor de la Tierra tiene una inclinación de 5° con respecto a la eclíptica. Esta misma variable hace que el eclipse no siempre sea observable sobre una latitud diametral de ambos astros, por tanto, la duración de los eclipses es variable. A lo dicho se añade que toda órbita es una elipse, esto es, Luna transita perigeos y apogeos de modo que su diámetro aparente es función de aquellos.