El tránsito de Mercurio (segunda parte)

[Fgomezm]

El tránsito de Mercurio (segunda parte)

Dicen que las segundas partes nunca fueron buenas pero me animaré a desafiar el dicho popular y agregar algunas consideraciones adicionales al análisis del Tránsito de Mercurio del pasado 9 de mayo.

Les había contado en el primer artículo que el tránsito tiene lugar cuando Mercurio pasa por uno de sus nodos y la Tierra alcanza simultáneamente el punto en su órbita que corresponde a la intersección de la semi-recta centrada en el Sol y que pasa por dicho nodo.

Los nodos son los puntos donde la órbita de Mercurio cruza el plano de la eclíptica. Aclaro que el nodo correspondiente al 9 de mayo es el nodo descendente y no el ascendente como dije en el artículo anterior, pero esto es irrelevante para la explicación.

Establecidas entonces esas condiciones para el encuentro (o rendez-vous) había que “esperar” que los planetas se desplazasen entre sí hasta que se llegase al instante en que se diese el encuentro.

Supongamos que hicimos bien las cuentas y llegamos correctamente a la famosa fecha del 9 de mayo de 2016.

La pregunta ahora es ¿Cuando volverá a suceder?

La respuesta es relativamente simple

La Tierra pasará por el punto de encuentro una vez por año (o sea cada 365,256 días) y Mercurio pasará por ese nodo una vez cada 88 días (87,969 para ser más preciso) lo que corresponde a su período orbital.

Simplemente debemos calcular cuantas vueltas enteras tiene que dar la tierra alrededor del Sol (o sea cuantos años) y cuantas vueltas enteras deberá dar Mercurio para que lleguen otra vez en forma simultáneamente al mismo punto.

Llamemos n1 a la cantidad de vueltas dadas por la tierra y n2 la cantidad de vueltas dadas por el sol.

Se debe cumplir n1x365=n2x 88, siendo n1 y n2 enteros.

Los números que mejor cumplen esta relación son n1=46 y n2=191

O sea cada 46 años se repite el fenómeno

También cumplen la relación n1=13, n2=54 y el par n1=33, n2=137

Presten atención que 13+33=46

En definitiva los tránsitos de Mercurio en su nodo descendente se dan en la secuencia 13, 33, 13, 33, 13, 33.....

Los tránsitos en el mes de mayo ser producirán entonces en 2016, 2049, 2062, 2095, 2128.....

Ahora lo vamos a complicar un poquito más.

Hay otra condición en la que puede darse el rendez-vous y es cuando Mercurio transita por su otro nodo (el ascendente) pero en este caso la Tierra tiene que estar del otro lado de su órbita. O sea a 180º del punto de encuentro del caso anterior.

Estar a 180º equivale a haber orbitado 6 meses por lo que la primera conclusión que sacamos es que este otro tránsito se debiera producir en el mes 5+6=11 o sea en noviembre.

La relación entre el número de orbitas es más compleja que en el caso anterior pero créanme que el fenómeno se da con la siguiente periodicidad

7,13,13,13 ... y luego de 46 años el ciclo se repite

Los próximos tránsitos durante noviembre se darán en los años

2019, 2032, 2039, 2052, 2065, 2078, 2085, 2098

Si me animo en la próxima les explico el caso de Venus pero no tendrá tanta prensa porque su próximo tránsito será en el 2117 ( y yo ya no estaré con Uds).

Fernando

[Philippulus]

On ‎14‎/‎05‎/‎2016 at 0:59, Fgomezm dijo:

El tránsito de Mercurio (segunda parte)

Dicen que las segundas partes nunca fueron buenas pero me animaré a desafiar el dicho popular y agregar algunas consideraciones adicionales al análisis del Tránsito de Mercurio del pasado 9 de mayo.

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Si me animo en la próxima les explico el caso de Venus pero no tendrá tanta prensa porque su próximo tránsito será en el 2117 ( y yo ya no estaré con Uds).

Fernando

Muy buena las dos explicaciones.

 

Te animo a que nos expliques el caso de Venus. Aunque ninguno de nosotros ande ya por estos pagos, quedará escrito aquí para que nuestros hijos o  nietos puedan verlo y entenderlo.

 

Saludos.

Editado 29 de Julio del 2016 por Philippulus

[Richard R Richard]

On 13/5/2016 at 19:59, Fgomezm dijo:

 

Simplemente debemos calcular cuantas vueltas enteras tiene que dar la tierra alrededor del Sol (o sea cuantos años) y cuantas vueltas enteras deberá dar Mercurio para que lleguen otra vez en forma simultáneamente al mismo punto.

hola Fernando , como soy recien iniciado, por ahí lo que te pregunto es muy obvio, pero es mejor parecer ser un tonto un segundo, que ignorar toda la vida, la pregunta es porque enteras las vueltas?, porque no cuando pasan 116 dias cuando vuelven a estar en el mismo angulo de rotación con respecto al sol?

 

si bien entiendo que el angulo de inclinación entre órbitas existe, la pregunta es si este angulo es tan grande como para que en las vueltas inmediatas posteriores,  lo que se aleja  mercurio del plano de la eclíptica sea mayor que el radio del sol, entonces ya no haya transito. 

 

On 13/5/2016 at 19:59, Fgomezm dijo:

 

Llamemos n1 a la cantidad de vueltas dadas por la tierra y n2 la cantidad de vueltas dadas por el sol.

No debería decir "Llamemos n1 a la cantidad de vueltas dadas por la tierra y n2 la cantidad de vueltas dadas por mercurio."?

 

 

Gracias 

[Fgomezm]

hace 12 horas, Richard R Richard dijo:

hola Fernando , como soy recien iniciado, por ahí lo que te pregunto es muy obvio, pero es mejor parecer ser un tonto un segundo, que ignorar toda la vida, la pregunta es porque enteras las vueltas?, porque no cuando pasan 116 dias cuando vuelven a estar en el mismo angulo de rotación con respecto al sol?

 

si bien entiendo que el angulo de inclinación entre órbitas existe, la pregunta es si este angulo es tan grande como para que en las vueltas inmediatas posteriores,  lo que se aleja  mercurio del plano de la eclíptica sea mayor que el radio del sol, entonces ya no haya transito. 

 

No debería decir "Llamemos n1 a la cantidad de vueltas dadas por la tierra y n2 la cantidad de vueltas dadas por mercurio."?

 

 

Gracias 

Correcto, n2 son la cantidad de vueltas dadas por Mercurio.

En las vueltas anteriores o posteriores no se da el tránsito porque los dos planetas (Mercurio y Tierra) orbitan a distintas velocidades angulares.

Las vueltas son enteras porque deben llegar a la misma posición al mismo tiempo. Recuerda que los planetas giran a velocidades diferentes, los interiores lo hacen más rápido que los exteriores. Luego de 116 días Mercurio ha dado dos vueltas al Sol  pero la Tierra recién a recorrido un tercio de su orbita.

Las condiciones para que se dé esta alineación ( el tránsito) son muy estrictas por lo que no creo que se puedan encontrar otras soluciones. De hecho estoy seguro , no porque yo lo haya calculado, sino porque este fenómeno esta perfectamente tabulado desde hace siglos.

Quizás si haces un dibujo en un papel lo puedas entender mejor. Explicarlo con palabras es algo difícil.

Acabo de subir al  foro de Espacio Profundo un programa (se llama Kepler) que calcula estos parámetros para una fecha dada. Puedes hacer algunas pruebas con él.

 

Fernando

[Richard R Richard]

hace 10 horas, Fgomezm dijo:

 

Luego de 116 días Mercurio ha dado dos vueltas al Sol  pero la Tierra recién a recorrido un tercio de su orbita.

Hola Fernando gracias por tu respuesta y perdona que insista, no elegí arbitrariamente los 116 días, en ese mercurio da una vuelta y fracción (casi 1/3) y la tierra solo la fracción (casi 1/3)con respecto al sol, por lo que si bien tienen diferente velocidad angular, ambos planetas vuelven a estar alineados , al menos sobre un  plano perpendicular al eje rotación de la tierra con respecto al sol, y como dices que no sucede en la práctica, mi intuición me dice que es por la inclinación de la órbita de Mercurio con respecto de la eclíptica, pero no estoy seguro, solo así se justificaría lo estricto. .Si imaginamos a la luna girando en una órbita sin inclinación,  tendríamos un eclipse lunar cada 28 días y luego de 14 días tendríamos uno solar con la misma frecuencia y  si esto no sucede es por la inclinación de la órbita. ¿estoy en lo cierto?Postee la imagen de la fórmula matematica que permite calcular ese valor de 116 días, pero no se porque no se ve.

 

[TEX]t_{\theta}=\dfrac{nT_{Tierra}T_{Mercurio}}{T_{Tierra}-T_{Mercurio}}=n \cdot 116 d [/TEX]

 

He mirado tu programa, solo que mi navegador, me bloquea la carga automática de la geolocalización , como no me deja manejar esa excepción,  la cargo manualmente. 

 

 

Editado 31 de Julio del 2016 por Richard R Richard
aclaración y formula

[Fgomezm]

Vayamos por partes

 

1) No logro ver la fórmula que tu dices pero no es correcta y paso a explicarte porqué.

2) Las situaciones en que el Sol , Mercurio y la Tierra están alineados (y en ese orden es decir con Mercurio situado entre el Sol y la Tierra) se llaman conjunciones inferiores.

Para el 2016 las conjunciones inferiores de Mercurio han sido el 14 de enero, el 9 de mayo (el día del tránsito) y luego serán el 13 de setiembre y el 28 de diciembre . Dadas la relación de los períodos orbitales 365/88 las conjunciones inferiores de Mercurio se dan aproximadamente 4 veces por año corrido.

Desde el 9 de mayo al 13 de setiembre transcurren 127 días ( y no los 116 de tu cuenta, pero son del orden). Según tu cuenta la conjunción inferior se daría el 2 de setiembre en lugar del 13 . Si ya has descargado el programita que escribí hay un parámetro que lo llamé "argumento heliocéntrico" que lo que indica es justamente el ángulo desde el punto Aries hasta la proyección del planeta en el plano de la eclíptica. Para que Mercurio esté alineado con la Tierra el argumento heliocéntrico de Mercurio tiene que coincidir con el de la Tierra. Simplemente introduce las fechas y verás que para el 2 de setiembre esos valores están  alejados  y que para el 13 de setiembre prácticamente coinciden.

3) Pues bien, aunque se dé esta alineación de la proyección de Mercurio sobre la eclípitca, el planeta realmente no se encuentra en dicho plano sino que por la inclinación de su órbita está desplazado hacia arriba o hacia abajo  de la eclíptica. El valor de ese desplazamiento  en el programa "Kepler"se llama "latitud eclíptica". Simplemente carga las fechas del 9 de mayo y del 13 de setiembre y podrás verificar cuanto dan esos valores.

4) En la práctica lo que se calcula es el apartamiento del planeta respecto al Sol y a ese parámetro se llama elongación. El programita que escribí también lo calcula y verás que para el 13 de setiembre ronda los 3º.

5) Para que Mercurio corte la superficie del Sol esa elongación no puede superar al radio aparente del Sol (en grados). El Sol tiene un diámetro aparente de medio grado, por lo que la elongación no podría superar 0,25 grados que es lo mismo que 15 arc min.   Evidentemente los 3º de elongación del 13 de setiembre superan ampliamente los 0,25 grados por lo que no habrá tránsito. 

El programa que compartí es muy potente y te permite hacer todo tipo de simulaciones. Simplemente juega con él y sácate todas las dudas.

 

La única manera que se produzca el tránsito es que la alineación Sol, Mercurio, Tierra se dé en la semirecta que pasa por los nodos. Piénsalo tranquilo y te darás cuenta solo.

 

De todas maneras pregúntame los que quieras, si sé la respuesta  te lo contesto.

 

PD- Trata de habilitar en tu navegador la posibilidad de compartir la geoposición. Por lo general y por temas de seguridad está función está  deshabilitada pero si lo logras habilitar el programita "Kepler" te hará las cosas muy sencillas ya que no tienes por qué  introducir ningún datos, simplemente toma fecha, hora , latitud y longitud de la computadora.

 

 

 

[Fgomezm]

Lo que dices de la Luna es cierto. Si su órbita no estuviese inclinada tendríamos eclipses con mayor frecuencia. Los cálculos con la Luna son muy complejos porque si bien orbita alrededor de la Tierra, como cualquier satélite, está influenciada además  por la fuerza gravitatoria del Sol .

[Richard R Richard]

Hola Fernando . gracias por responder 

 

la formula que use es

 

 

donde t1Y t2 son los periodos de mercurio y la tierra respectivamente, n es la cantidad de revoluciones alrededor del sol que da de mas mercurio con respecto a la tierra, No comprendo aun porque da 127 , mi unica suposicíon fuera de la lógica es que ambas trayectorias las tomo como circulares centradas en el sol y no elipticas aunque no creo que semejante diferencia se deba a eso, la excentricidad de las orbitas solo puede contribuir a que se aparten de la media , pero no demasiado.

 

On 1/8/2016 at 23:23, Fgomezm dijo:

 

3) Pues bien, aunque se dé esta alineación de la proyección de Mercurio sobre la eclípitca, el planeta realmente no se encuentra en dicho plano sino que por la inclinación de su órbita está desplazado hacia arriba o hacia abajo  de la eclíptica. El valor de ese desplazamiento  en el programa "Kepler"se llama "latitud eclíptica". Simplemente carga las fechas del 9 de mayo y del 13 de setiembre y podrás verificar cuanto dan esos valores.

 

5) Para que Mercurio corte la superficie del Sol esa elongación no puede superar al radio aparente del Sol (en grados). El Sol tiene un diámetro aparente de medio grado, por lo que la elongación no podría superar 0,25 grados que es lo mismo que 15 arc min.   Evidentemente los 3º de elongación del 13 de setiembre superan ampliamente los 0,25 grados por lo que no habrá tránsito. 

El programa que compartí es muy potente y te permite hacer todo tipo de simulaciones. Simplemente juega con él y sácate todas las dudas.

 

Esas son las confirmaciones que necesitaba,y el motivo de mis dudas,  aunque  el "argumento heliocéntrico" no influiria en mi ecuación, pues justamente lo que hice es resolver la distancia temporal para que  el argumento heliocéntrico de ambos planetas sea el mismo, por eso siempre sera 127 o 116 dias   ya vere donde esta el problema, la cantidad de dias entre el 9 de mayo y el 14 de enero son 116, pero hasta el 13/9 son 127 como tu dices...... la verdad no se 

 

 

 

gracias nuevamente

 

 

 

Editado 3 de Agosto del 2016 por Richard R Richard

[Fgomezm]

Ahora que pude ver la fórmula comprendí el problema. Esa fórmula está relacionada con el período sinódico medio (que es de 116 días para Mercurio). Tu razonamiento funcionaría bien si las órbitas de la Tierra y de Mercurio fueran circulares pero, si bien se puede aproximar la órbita terrestre a una circunferencia no puede hacerse lo mismo para la de Mercurio.   Mercurio tiene una excentricidad de 0,2 y eso significa que su órbita tiene la forma de una elipse bien definida . Cuando el planeta está cerca del perihelio la distancia recorrida a tiempos iguales será menor y cuando está alejado del perihelio (o sea cercano al afelio) la distancia recorrida a tiempos iguales será mayor. Recuerda que la 2da ley de Kepler dice que a tiempos iguales, áreas iguales  (pero no distancias iguales, a menos que la elipse sea una circunferencia).

Eso lleva a que los tiempos entre conjunción y conjunción varíen .Se puede calcular perfectamente cuando se producen las conjunciones pero no a partir del tiempo sinódico medio. De todas formas las únicas conjunciones que producen tránsito son las cercanas a los nodos.

 

Los planeta con mayor excentricidad son justamente Mercurio y Plutón y tu te enfrentase a uno de ellos. Si hubieses hecho la cuenta con Venus (que tiene una excentricidad bajísima) no te habrías enfrentado al problema.

 

Espero haberlo podido explicarlo bien.

 

Fernando

 

En mi programita Kepler también aparece el dato de las excentricidades por si quieres curiosear.