Los grandes números...

[sagitario blues]

Los grandes números… ¿son patrimonio del Universo?

 

Acostumbramos nombrar como visible a todo suceso desde el cual nos llega su luz, es decir: aquellos eventos desde los cuales, una vez producidos, podemos recibir información electromagnética.

Se conocen otros canales de información o contacto entre distintos eventos del Universo, tales como las ondas gravitacionales y las partículas de muy altas energías. Estos sucesos (galaxias, cuásares, diversos oleajes de radiación emitidos) son cuantificados por la mente humana bajo patrones, los cuales en función de su adecuación a norma validan o descartan las diversas hipótesis y teorías propuestas.

Precisamente, el número se ha erigido como el estanco que todo lo mide, todo lo prevé, todo lo acepta o lo rechaza. Tu teoría puede ser hermosísima, amigo, pero si un par de números -al menos- no cuadran entre tus papeles y los equipos detectores, olvídalo muchacho, esta morirá en el cesto.

 

Quiero recorrer ahora tan solo algunos de estos artefactos vinculados a los cielos: los números. Y ver si en realidad es él, el Universo, el dueño de sus exponentes colosales.

 

Trece mil millones de años (13.109 años) quizá sea el tiempo transcurrido desde el evento descripto como Big Bang, origen o Cosmos que conocemos.

Las teorías actuales aceptadas concuerdan sobre esa cifra. Son teorías nuevas, en realidad. No hace mucho tiempo aún era fuerte el concepto del espacio estacionario, que se basa en la generación permanente de espacio y materia, propuesto entre otros por Fred Hoyle (autor de al menos una novela magnífica: La Nube Negra). Pero hubo una detección casual, un error, casi, que inclinó la balanza hacia un Universo con principio, con origen en una poderosísima emisión de energía-espacio-tiempo: la detección del eco de ese momento primero: la detección de la radiación de fondo. Una minucia, una nada propuesta por varios genios hace más de 40 años: escuchar el residuo de ese origen.

Diablos, cómo es el mundo. No sabemos nada, tan solo imaginamos. Pero cuando una imaginación se basa en números… ¡Ah!  Amigo, ya no es tal, ahora es ciencia… y de la buena.

De modo que tenemos 13.10 a la 9 años * desde ese principio.

Lo llevaré a días:

13 . 365 .109 = 4745 .10  la 9 e iré redondeando, ya que la exactitud aquí no nos importa:

4,7 . 10 a la 12 días.

Lo llevaré a horas y luego a segundos:

4,7 . 24 hs. 10 a la 12= 113 hs .10a la 12

113 . 60´ . 60´´ . 10--12=  406.080 . 10--12 = 4´´ .10 a la 17

 

4 .1017 segundos desde el origen del Universo o evento llamado Big Bnag.

Cuatrocientos mil billones de segundos.

¡Buuummm! y cuatrocientos mil billones de veces el tiempo que te llevó leer ese buuummm… acá estamos, escribiendo y leyendo estas líneas. Parece mucho.

 

Llevemos los números a través del espacio.

¿Qué significa en kilómetros esa cifra primera sobre la cual los eruditos coinciden, los 13 mil millones de años desde el cual se formó el Cosmos?

Un espacio que surge y corre. El borde imposible se aleja de sí mismo a la velocidad de la luz –el universo es la famosa esfera de Pascal (o un Aleph) donde cada punto de su superficie es su centro. De modo qué, 13.000.000.000 de años después, su tamaño equivale a una esfera cuyo radio es de 13. 109 años luz**.

Pasemos esta cifra espacial a nuestros conocidos kilómetros:

1 año luz = 300.000km . 365 (ds) . 24 (hs). 60 (´) .60 (´´)

= 3. 10a l 5km . 365 . 86.400= 94.608.000 . 10 - a la 5 km

= 9,5 . 10a la 12 km

Es decir, un año luz equivale a 9,5 billones de kilómetros.

Vamos por el total:

9,5 . 10a la 12 x 13 . 10 a la 9 = 123,5 . 10a la 21 km.

El universo vivible tiene entonces un radio de 123 por diez elevado a la 21, kilómetros.

Un 123 multiplicado por un 1 seguido de 21 ceros.

Guau. Es grande el bicho.

Su volumen es:

4/3 Pi . r3

4/3 . 3,14 . 123,5 . 10a la 21x 3 Km= 7.778.424 . 10 a la 63 km.

Es decir, una esfera de 8 . 10 a la 69 km.

Inconcebible.

Estos números solo sirven para que uno pierda un poco el tiempo, pues nada significan a la mente humana, habituada por evolución a manejar distancias harto menores. El ser humano vivió durante 2 millones de años en un espacio no mayor de 10 kilómetros. Para desplazarse de África a Europa invirtió casi todo ese tiempo. Son números prodigiosos, sin duda y parece que el universo se queda con el lauro. Los grandes números son su reino.

Pero démosle una oportunidad a ese otro universo, más cercano, más arcano para muchos, el tablero de ajedrez.

El tablero de ajedrez está dividido en 64 escaques de color claro y oscuro. Las piezas son de seis categorías duplicadas en dos ejércitos. Creo que todos conocen la leyenda sobre el premio que un rey quiso dar al inventor –inexistente- de este juego maravilloso:

Un Rey vivía acongojado por la reciente pérdida de su hijo -en una batalla que salvó el reino. Pasaban los días y este padre no hallaba consuelo. Los alcahuetes de la corte salieron al pueblo en busca de una cura para el monarca. Vinieron magos, teatros, cómicos y bailantes, pero nada hizo efecto en la mente triste del rey. Un buen día llegó un anciano con una piel enrollada bajo el brazo, con una bolsa en la mano. La piel era un ajedrezado, la bolsa contenía los trebejos. El anciano enseñó las reglas al Rey y pronto comenzaron a jugar. En un momento de la partida el Rey vio que, si sacrificaba a su General, vencía en la batalla. Rápido tomo la pieza y, antes de bajarla sobre la casilla clave, sonrió. Había comprendido. Su hijo había muerto para salvar su reino. Miserable consuelo, pobre hombre condenado, para conseguir lo más preciado había perdido lo irremplazable. De todos modos el Rey se animó y desde entonces recuperó su ánimo. Confortado en parte, quiso premiar al viejo. Este pidió algo irrisorio: un grano por la primera casa del tablero, dos por la segunda, y así hasta completar la sesenta y cuatro. El Rey se sintió ofendido por la minucia pedida y mandó a sus ecónomos a dar paga. Pronto los matemáticos de la corte se acercaron temerosos, no alcanzaba el tesoro del reino para comprar el cereal que satisficiera al anciano. Más aún, no había sobre la Tierra la cantidad de trigo que ha menester.

Esta historia es harto conocida:

1 en la primera,

2 en la segunda,

4 en la tercera,

8 en la cuarta,

16 en la quinta...

 

Parece imposible que la cifra crezca hasta hacerse inmanejable. El número final es un 18 seguido de 18 cifras más. Diez y ocho trillones de granos de trigo. Imposible. Inabarcable.

Hay más. Dispuestas las piezas para la batalla, antes de la primera movida cada peón puede mover a dos casas y cada caballo otro tanto. Es decir, la primera movida blanca es una entre veinte (1/20). Y la respuesta negra nos mostrará una entre cuatrocientas posiciones distintas (1/20 blancas x 1/20 negras).

Algunos hombres y mujeres se han dado ya estos cálculos tan sencillos, y pesados. Hice por mi cuenta los del Universo y los que arrojan el total de granos de trigo –o de arroz, según la historia- pero ahora copiaré los datos vertidos en la página https://www.xatakaciencia.com/matematicas/las-cifras-mas-alucinantes-del-ajedrez

La cantidad de movidas posibles en la jugada 10 excede los 165 cuatrillones; es decir: 165 . 10 a la 24

Y las jugadas posibles de una partida de ajedrez, según este sitio, es de 10 a la 120.

En una palabra, el universo no parece ser el dominio de los números colosales… pero, ¿dónde si no está inscripto el juego de ajedrez?

 

*Los números grandes –como 13.000.000.000- suelen ser expresados como números pequeños (el 13) seguidos de un multiplicador elevado a una determinada potencia (el109) la cual significa que aquél va seguido de tal número de ceros. En nuestro caso: un trece seguido de nueve ceros.

**Para los humanos comunes es una esfera, para un matemático o un ser que perciba el espacio tiempo ¿es un cono? ¿De cuántas dimensiones?

 

http://sagitarioblues.blogspot.com.ar/2017/01/los-grandes-numeros-son-patrimonio-del.html

 

[clear]

me recuerda a sagan desenrollando el gogol plex por las calles

 

 

[MarioCastillo]

Muy bueno @sagitario blues!

 

Es notable la relación del ajedrez con los grandes números.

 

Ahora para comprender esos grandes números nada como llevarlos a magnitudess comprensibles por nuestra mente. 

Hace tiempo hice un trabajo en Didáctica de la Matemática aplicando el mismo problema del tablero y los granos de trigo para aplicar la función exponencial; copio, pego y comparto algunas partes para que no sea muy tedioso:  

 

El problema del tablero de ajedrez: Según la leyenda, un rey quedó tan entusiasmado con el juego del ajedrez que prometió al inventor todo lo que éste pidiera. Deseo tener – dijo el inventor modestamente -, suficiente trigo como para poder poner un grano en la primer casilla, dos en la segunda, cuatro en la tercera y así sucesivamente, duplicando la cantidad cada vez, hasta llegar a la última casilla del tablero. ¿Cuál es el total de granos de trigo que le corresponden al inventor?

 

El tablero tiene 8 x 8 casillas = 64 en total

Casilla 1 = 1 grano = 20

Casilla 2 = 2 granos = 21

Casilla 3 = 4 granos = 22

Casilla 4 = 8 granos = 23

…………………………………

Casilla 64 = 263 = 9223372036854775808 granos = 9,2233e+18 granos

…………………………………

Generalizando: la casilla x contiene 2x-1 granos

 

¡Son muchísimos granos de trigo! Tantos que escapan a nuestra comprensión. Intentemos comprender el significado de esta cantidad traduciéndolo a magnitudes comprensibles por ejemplo unidades de peso.

 

¿Cuántos granos de trigo entran en un kilogramo?

Podríamos pesar 1 kilogramo de trigo y contar los granos o averiguar cuánto pesa cada grano y dividir 1kg por el peso de un grano.

Investigando averiguamos que el grano de trigo pesa entre 30 y 42mg según la FAO.

El peso promedio de un grano de trigo es (30+42)/2 = 36mg

Luego en 1 kg de trigo hay 1/(0,000036) =  27778 granos

 

¿En cual casillero del tablero será necesario un kilogramo de trigo?

y = 2^(16-1) = 32768 granos     

En el casillero 16 se necesita más de 1kg de trigo, ¡recién en el 16!

 

¿Y una tonelada?

1 tonelada = 1000kg = 27.778.000 granos

y = 2^(26-1) = 33.554.432 granos

En el casillero 26 ya se necesita más de 1 tonelada de trigo. Es decir en el casillero 16 necesitamos un poco más de un kg; pero 10 casilleros más adelante ya necesitamos más de una tonelada.

 

Avancemos más rápido. Toda la producción de trigo de Argentina alcanzaría para cubrir el casillero número….?

 

La producción anual de trigo de Argentina es de 15.000.000 de toneladas.

En kilogramos = 15.000.000.000

En granos de trigo = 15.000.000.000 x 27.778 = 416.670.000.000.000 = 4,1667e+14 

y = 2^48 = 2,8147e+14 granos

¡No alcanza para cubrir el tablero!

 

¿Y la producción mundial de trigo… alcanzará?

La producción mundial de trigo estimada para el año 2010 es de 678.000.000 de toneladas.

En kilogramos = 678.000.000.000

En granos de trigo = 678.000.000.000 x 27.778 = 1,8833e+16

y = 2^54 = 1,8014e+16 granos

¡Tampoco alcanza para cubrir el tablero!

 

Entonces veamos cuántos años de producción mundial de trigo son necesarios para cubrir el casillero 64.

y = 2^63 = 9,2233e+18 granos

En kilogramos = 9,2233e+18 / 27778 = 3,3203e+14 kg

En toneladas = 3,3203e+14 /1000 = 3,3203e+11 toneladas

En años de producción mundial = 3,3203e+11 / 678.000.000 =  490 años

¡Son necesarios 490 años de producción mundial de trigo para cubrir el casillero 64!

 

Saludos!

 

Mario

 

[sagitario blues]

Muchas gracias por semejante aporte¡¡¡¡ Felicitaciones

[sagitario blues]

Muy bueno, Clear, gracias.