Me tomo 5 minutos.....y me tomo un Valium!!!!!

[El Duo de Dos]

Que se quede el infinito sin estrellas…..

Si existe alguna palabra favorita entre los autores de Ciencia Ficción, ésta sin duda es "Infinito" asociado a las más diversas cosas.

Esta palabra encierra un misterio, tiene un olor a cosa extraña en si que la hace irresistible, pero ¿qué es en si mismo?

Cuando hablamos de infinito, naturalmente lo asociamos con un número infinitamente grande, lo cual es un error.

Verán, este error viene de un problema de lenguaje y comodidad. Si nos disponemos a enumerar los números naturales, diríamos : "1,2,3,4,... y así indefinidamente". Pero por comodidad muchos reemplazan ese término, que es inequívoco, por "infinito" que no lo es.

De ahí que uno tiende a interpretar a "infinito" con un número inmensamente grande, y esto es un error, pues si ese número existiese, siempre podríamos sumarle 1. Por lo tanto pensar en infinito como un número es una contradicción.

Y decimos que el lenguaje tampoco ayuda ya que si recurrimos a la Real Academia vamos a encontrar una definición como:

infinito, ta. Del lat. infinitus.

1. adj. Que no tiene ni puede tener fin ni término.

2. adj. Muy numeroso, grande y enorme en cualquier línea.

3. V. proceso en infinito.

4. adj. Esgr. V. línea infinita.

5. m. Mat. Signo en forma de un ocho tendido ( ), que sirve para expresar un valor mayor que cualquier cantidad asignable.

6. adv. m. Excesivamente, muchísimo.

Como podemos ver todas las acepciones son ambiguas e imprecisas y sugieren una relación con el concepto de "cantidad" o número.

Y entonces ¿Qué es "infinito"??????

Tenemos aquí que darle la entrada (triunfal) a un gran matemático que estudió los conjuntos infinitos y les dio un tratamiento matemático: Georg Cantor. Hacia el año 1895 elaboró una de las teorías más "voladas" de la matemática: la aritmética del infinito, entre otras cosas estableció toda una serie de variedades distintas de infinitud, que denominó "números transfinitos".

Porque a pesar de que el infinito no sea un número, igual podemos hacerlo intervenir en ciertas operaciones aritméticas.

Eso lo podemos hacer con cualquier símbolo, podemos decir en Álgebra que a+b=c, o en la vida que hombre necio + mujer inteligente = casamiento. (chiste, chiste).

Lo único que tenemos que tener en claro es que cuando operamos con símbolos que no son números, no es de extrañar que los resultados que obtengamos no cumplan las reglas ordinarias de la aritmética.

Porque como vamos a darnos cuenta en breve, en los conjuntos infinitos, pasan cosas "raras"………(esto está para los agentes Mulder y Scully!!!!)

Cantor comenzó por definir la cardinalidad de conjuntos (en fácil: cantidad de elementos que tiene el conjunto). Todos sabemos contar conjuntos finitos, parece una tontera reflexionar sobre eso. Pero como contar conjuntos infinitos?

Claro está, cabría decir que a todos los conjuntos infinitos le asignamos el cardinal (cantidad de elementos) infinito. Así no discerniremos, todos los infinitos serán iguales. Esto sería posible, pero Cantor hizo otra cosa. Primero examinemos como se puede pensar el proceso de contar un conjunto finito.

Por ejemplo en EP hay 1276 usuarios registrados (al 8/4 a las 12hs), eso significa que podemos establecer una relación biunívoca entre el conjunto de los números: 1,2,3,...,1276 y el de los nombres de los Usuarios, asignándole a cada uno un número, empezaríamos por ejemplo con Ricardo y diríamos :

1 - Ricardo

……… y así continuaríamos hasta

1276 - Yuel773. Donde quedan agotados los elementos de ambos conjuntos.

De manera que a cada número le corresponda un y solo un forista y a cada forista le corresponda un y solo un número.

De esta manera y según Cantor estos conjuntos son "coordinables" porque tienen la misma cantidad de elementos.

Y acá esta el quid de la cuestión! y la genialidad de Cantor. Cantor hizo extensivo este modo de ver el proceso de contar a conjuntos infinitos. El dijo los conjuntos A y B tienen la misma cantidad de elementos si podemos poner en correspondencia biunívoca los elementos de ambos conjuntos.

De esta aparente anodina definición se desprenden resultados sorprendentes,

Obviamente el conjunto de los Naturales 1,2,3,4,... es infinito.

Imaginemos el conjunto de los Naturales pares, tendremos una sucesión de la forma: 2,4,6,.... ? Es infinito tambien?

Veamos, escribamos en una fila todos los números Naturales y en el renglón de abajo la sucesión de pares y hagamos la siguiente correspondencia:

1 2 3 4 5 6......

2 4 6 8 10 12.......

De esta manera se puede establecer una correspondencia biunívoca entre ambos conjuntos (y creemos que ya se dieron cuenta cómo). Y así por ejemplo si buscamos qué número le corresponderá al 1237 del primer conjunto, diremos que el 2474 del segundo, y de forma similar si quisiéramos saber a que número del conjunto de los Naturales le corresponde el 20342, daríamos con el 10171.

Por lo tanto vemos que ambos conjuntos son coordinables y como ya vimos, el ser coordinables significa que tienen la misma cantidad de elementos !!!!!!!!!!! (una de las cosas "raras" que mencionábamos anteriormente).

Es interesante notar que el anterior ejemplo ya había sido formulado por Galileo. A Galileo le interesó resaltar con este ejemplo que no siempre el todo es mayor que las partes. A saber, como hay exactamente un Natural par por cada Natural, la parte (los Naturales pares) tienen la misma cantidad de elementos que el todo.

Esto es una característica de los conjuntos infinitos. Empezamos preguntando que era el infinito, pues bien, esa es una, entre muchas, posible definición: un conjunto es infinito cuando tiene la misma cantidad de elementos que alguna parte de él.

De igual manera podríamos hacer una sucesión con los impares, de la forma: 1,3,5,..., y probar también que tiene infinitos elementos.

Es fácil demostrar (y ustedes pueden hacerlo perfectamente) que, los Naturales tienen la misma cantidad de elementos (en el sentido de Cantor) que los Enteros. Es más difícil, pero se puede ver que los Naturales tienen la misma cantidad de elementos que los racionales.

Esto último es particularmente sorprendente, a pesar que entre dos enteros, ejemplo el 0 y el 1, hay infinitos racionales, por ejemplo, 1/2, 1/3, 1/4, etc, es posible asignar uno y solo un natural por cada racional.

¿Es así de simple?

¿Todos los infinitos tienen la misma cantidad de elementos que los naturales?

Obviamente la respuesta es no, de lo contrario la teoría carecería de valor alguno.

Todos conocen a los números Irracionales (aquellos que no pueden expresarse como una fracción: Pi, raíz de 2, e, etc.), y quien más quien menos tiene la idea de que no son "tantos", o al menos son menos numerosos que los Racionales, ¿no?

Pues Cantor demostró no solo que no son menos numerosos que los Racionales, sino que tienen una cardinalidad superior, es decir que son más numerosos que los Racionales!!!!!!!

Es decir demostró que esos números raros, los irracionales de los cuales nos hablaron someramente en el colegio, en realidad son los más comunes.

Entre otras cosas, esta observación de Cantor implica que si Uds. tomaran un número Real al azar, la probabilidad que sea irracional es de 1 y la de que sea racional es de 0. Uds. dirán: pero lo más común es "ver" números racionales. Lo que ocurre es que lo que "vemos" es una muestra muy sesgada de números, "vemos" sólo aquellos números que nuestros finitos cerebros, y nuestras finitas memorias RAM, pueden leer.

Así Cantor logró catalogar dos tipos de infinito, el de los naturales y el de los reales. Se detuvo aquí Cantor, No!

Se propuso ordenar todos los distintos infinitos posibles. Llamó números cardinales transfinitos a los distintos tipos de infinitos posibles que surgieran de su definición.

Demostró que entre los cardinales infinitos hay uno que es el menor y se corresponde con el infinito de los naturales y lo llamó Aleph 0 (es la primera letra del alfabeto hebreo y perdonen pero no podemos poner acá el símbolo).

O sea que la tremenda inmensidad del infinito ordinario resulta ser el más pequeño de todos los transfinitos!

De aquí el nombre del famoso libro de relatos de Borges El Aleph, quien era un admirador de estas cosas!!!!!

Demostró que dado un cardinal cualquiera Aleph hay uno que es su inmediato sucesor Aleph ` . Parece una obviedad, pero no lo es, los números reales no tienen esa propiedad, no hay un inmediato sucesor del 0 (por ejemplo).

Así, los diversos transfinitos se pueden enumerar en orden creciente de infinitud, asignándole a cada uno un subíndice, comenzando por el cero. El transfinito de orden más bajo posible es el Aleph0, luego le seguirían el Aleph1, el Aleph2, y así ...

Y resulta que

Aleph0 < Aleph1 < Aleph2 < .....

Al cardinal de los Reales Cantor lo llamó C. Pero ya vimos que los Reales son de una cardinalidad superior a la de los Naturales, así que C es distinto que Aleph0.

¿Donde está C en la escala de los alephs?

Cantor conjeturó la hipótesis del continuo: C=Aleph1.

Nunca la pudo demostrar……. Pero Gödel (1938) y Cohen (1963) demostraron que nunca lo iba a poder demostrar, ni refutar!!!!!!!!!!!

En síntesis, C está en algún lugar en la escala de los alephs pero no se puede decidir donde. (Urgente un médico ahí!)

Se quedó en esto Cantor?, pues no!!!

Como si faltara algo, logro definir una aritmética de los transfinitos. Esto, entre otras cosas permite encontrar de qué tipo de infinito son algunos conjuntos como si de sumar dos más dos se tratase.

Algunas cuentas de esta extraña aritmética son:

a) Aleph(cualquiera)+cardinal finito= Aleph(el mismo)

b) Aleph(cualquiera)+Aleph0= Aleph(el mismo)

c) Aleph0 ×Aleph0=Aleph0

d) 2^Aleph0 = Aleph0^Aleph0 = C

e) Aleph < 2^Aleph

La propiedad e) implica que los alephs nunca se terminan!!!!!! Dado un aleph eleva 2 a ese aleph y conseguís uno más grande.

Seguramente quien haya llegado hasta aquí, estará pensando que extraña locura es todo esto. Pues bien, están pensando lo que muchos científicos contemporáneos de Cantor pensaron. Como suele suceder con aquellos que rompen esquemas, en vida Cantor recibió mucha oposición a su Teoría de Cardinales. Y terminó encerrado en un manicomio.

Hasta que muchos matemáticos muy respetados se dieron cuenta de la potencia de los resultados de Cantor, que pueden ser usados para clarificar cuestiones de números ordinarios, cosa que no desarrollaremos aquí.

Tal es el caso de uno de lo más grandes matemáticos del siglo XX, David Hilbert. Entre otras muchísimas cosas Hilbert estudio ciertos espacios, que hoy llevan su nombre, y que sirven de marco para formular la mecánica cuántica. Pues bien, Hilbert dijo,

.."nadie nos va sacar del paraíso que Cantor creo para nosotros".

Y tal es así, que hoy por hoy el paraíso de Cantor se enseña en los profesorados de matemática y otras carreras afines.

Y para finalizar los dejamos con una frase del genial Albert Einstein (el hermano genio del abominable Frank): "Hay dos cosas infinitas, el Universo y la estupidez humana. Y sobre el primero tengo mis serias dudas…."

Esperamos no haberlos aburrido.

[Betelgeus]

Ok. ya me tomé los 5 minutos, ¿DONDE ESTA EL VALIUMMMMMM?!

Excelente artículo!

Quiero preguntar algo que me quedó picando:

"Demostró que dado un cardinal cualquiera Aleph hay uno que es su inmediato sucesor Aleph ` . Parece una obviedad, pero no lo es, los números reales no tienen esa propiedad, no hay un inmediato sucesor del 0 (por ejemplo)"

¿Y el -1? O el -0,00001 por decir otro. No se aplicaría la definición de Aleph también para los reales?

Saludos

[El Duo de Dos]

Hola Betel!

El 1, o el 0,0001 son sucesores del 0, pero no sus inmediatos sucesores. Lo que quisimos decir es que no existe un número que sea el que está "pegado" al 0.

Supongamos que proponemos al 1 como inmediato sucesor del 0.

Pero el 0,1 está antes que el 1.

Bueno entonces será el 0,1.... pero el 0,01 está más cerca!

Y así podemos siempre encontrar uno más cercano de cualquiera que propongamos.

Por eso no podemos asignarle a un número Real el título de "inmediato sucesor" del 0.

En cambio con los Aleph, Cantor demostró que el inmediato sucesor del Aleph 0 es Alpeh 1.

Esperamos no haberte confundido más!

[Betelgeus]

Si, tenés razón. Uyyyy se me quema el cerebro, todavía lo estoy digiriendo (se dice así?).

Conocía la definición "fácil" de Aleph, esa que explica que para recorrer completamente un segmento se necesita un número de puntos mayor que el infinito (el numero aleph). Porque si se divide el segmento en n partes, cada parte tendrá la misma cantidad de puntos que el segmento completo.

Pero ahora la definición se amplió un poco más, así que habra que dedicarle algo más que cinco minutos. je

[Baxter]

muy bueno el informe duo!!, la verdad que confuso, pero sin saber mucho de matematicas entendi la teoria de cantor, lo cual me parecio mas razonable que las definiciones de la RAE.

de todas formas si alguien como cantor hubiera venido a contarme de su teoria seguramente tambien lo hubiera mandado a un manicomio y denunciado a la DEA jajaja

[El Duo de Dos]

Jajaja así es Seba, sería la respuesta más lógica. Pero Cantor estaba entre matemáticos y lamentablemente la miseria humana y los celos profesionales estan en todos lados.

Particularmente su punto de vista fue atacado con muchísima dureza por Kronecker, quien habia sido profesor de Cantor. Y sus celos profesionales llegaron al punto tal de impedir que fuera nombrado en un cargo de la Universidad de Berlín. Toda la tensión que sucitó la polémica resquebrajó su salud mental y terminó internado en un Hospital de alienados muriendo unos años después.

Triste pero cierto.