¿Querés paradoja? Andá llevando.

[Germán Bresciano]

Esta paradoja realmente me quitó el sueño, pues involucra la base misma de toda la matemática y se me vino todo abajo.

En 1897 Georg Cantor definió el concepto de "conjunto" como "cualquier colección en un todo, M, de objetos definidos y separados, m, de la intuición o el pensamiento. Estos objetos se llaman elementos de M"

Allá por 1900 Bertrand Russell definió conjunto "normal" a cualquier conjunto que no se contenga a si mismo como elemento, mientras que aquellos que son elementos de si mismo son "no normales"

Por ejemplo el conjunto de los conceptos abstractos es un concepto abstracto y por tanto es elemento de si mismo. Es un conjunto no normal.

El conjunto de los objetos celestes no es un objeto celeste. Es un conjunto normal.

Si se define N como el conjunto de todos los conjuntos normales. ¿N es normal o no normal?

Si N es normal entonces debe pertenecer a N (por la definición de N) y por tanto N es no normal (por la definición de conjunto normal).

Si N no es normal entonces debe no pertene a N (por la definición de N) y por tanto N es normal (por la definición de conjunto normal).

Conclusión: es y no es.

Da para pensar.

[danielschkzamian]

Confunde! pero yo creo que hay que tomar una base de partida.

Por ejemplo, la geometría euclidiana y la no euclidiana no dicen lo mismo aunque se basan en la geometría, es decir, hay que elegir una, la euclidiana o la no euclidiana y partir de ese punto para seguir y clasificar. mmm.... es decirrrr.... hay cosas que no son compatibles y se contradicen, la geometría no euclidiana contradice a la no euclidiana y también al revés, pero no por eso una tiene más razón que la otra! las dos son validas, según desde el punto de vista que lo quieras ver y el que tomes de punto de partida!.

Bueno, capaz dije cualquier cosa, es más no entendí bien, pero por lo poco que entendí escribí ese ejemplo!

Mi cabeza todavía no está lo suficientemente desarrollada para estos problemas!

[Germán Bresciano]

Daniel,

en esos casos tenés dos bases axiomáticas diferentes entre sí pero internamente coherentes. Ninguna es contradictoria.

Acá hay una contradicción y no es fácil encontrarle el origen.

[danielschkzamian]

Entonces no sé nada! le faltan proteínas a mi cerebrito! y no me deja pensar bien, así que cuando como un lindo asadito voy a ponerme a pensar! jaja

[Germán Bresciano]

No te calentés, si Cantor que era un monstruo y todos los demás se la comieron, cualquiera se la come.

Yo si no leo la explicación no la encontraba ni a palos.

Saludos,

[Fernando Mazzone]

German: Trajiste a colación una paradoja clásica de la teoría de conjuntos. La idea de definir los conjuntos que no se pertenecen así mismos ya la había tenido Cantor a los efectos de demostrar un teorema. Russel se dió cuenta que con esa misma idea construía una paradoja. Esta paradoja ya está superada hace mucho tiempo. Como cuentan respecto a las geometrías, la teoría de conjuntos también se axiomatizó y en la teoría de conjuntos axiomatizada la construcción del conjunto de la paradoja es imposible.

Saludos

[Germán Bresciano]

Fernando,

ya sé que ya está resuelta, pero me pareció interesante que otros la conozcan y se revienten el mate pensando qué está mal en el razonamiento.

Saludos,

[Fernando Mazzone]

Hola German.

Está bien tu idea, disculpame no entendí que tu propósito era convertir la paradoja en un trivia.

Lo que si, la solución de la paradoja va más allá del conocimiento medio en matemática.

Saludos

[Miguel]

Confunde! pero yo creo que hay que tomar una base de partida.

Por ejemplo, la geometría euclidiana y la no euclidiana no dicen lo mismo aunque se basan en la geometría, es decir, hay que elegir una, la euclidiana o la no euclidiana y partir de ese punto para seguir y clasificar. mmm.... es decirrrr.... hay cosas que no son compatibles y se contradicen, la geometría no euclidiana contradice a la no euclidiana y también al revés, pero no por eso una tiene más razón que la otra! las dos son validas, según desde el punto de vista que lo quieras ver y el que tomes de punto de partida!.

Bueno, capaz dije cualquier cosa, es más no entendí bien, pero por lo poco que entendí escribí ese ejemplo!

Mi cabeza todavía no está lo suficientemente desarrollada para estos problemas!

Daniel, el caso de las geometrías euclideanas y no euclideanas es distinto. Parten de postulados distintos y por ende llegan a concluciones distintas, pero no hay contradicción. De hecho la Geomtería de Bolyai Lobachevsky es más amplia que la de Euclides y tiene a ésta como un caso particular.

Si te interesa el tema podemos escribir algo y subirlo acá.

Saludos

[danielschkzamian]

mmmm... miguel. Me dejaste una intriga. Voy a leer todo lo que encuentre de la geometría no euclidiana!....... ...

sí, eso de los postulados distintos lo sabia, pero yo creía que se contradecían... no me acuerdo bien en un ejemplo, cero que era que en la euclidiana solo puede pasar una línea por 2 puntos y en la no euclidiana podían pasar más, o al revés o algo con puntos y líneas tenía que ver!

ESO ME PASA POR TOMAR TODO LO QUE ME DICEN COMO VERDADES

voy a investigar

[Miguel]

Me parece que te estas refiriendo al 5to postulado de Euclides, que se puede enunciar de forma simple como: "Por un punto exterior a una recta, pasa una y solo una paralela a ella". Postulado que ya desde la antigüedad fue cuestionado. Verás, el sistema axiomático (o de postulados) preconizado por Aristóteles, establece que fijando unos pocos axiomas, que no se demuestran, el resto de las propiedades deben deducirse de ellos. Y sobre este 5to postulado se planteo la duda de si no se podía demostrar a partir de los 4 primeros.

Las geometrías de Rieman y Lobachevsky cambiaron este postulado por otro y las geometrias que crearon fueron diferentes.

Ponete a leer del tema que te va a interesar

saludos

[danielschkzamian]

ese mismo! el 5º!

sí, estoy comprendiendo que las dos geometrías son distintas! y no están en pelea una con la otra!

pero igual voy a leer más!

[Germán Bresciano]

Lo que quise decir con que las bases axiomáticas de la geometría Euclídea y no Euclídea no son contradictorias era que los axiomas de cada una de ellas no se contradicen entre sí.

Por supuesto que los axiomas de una contradicen los de la otra, pero internamente cada geometría es coherente y sin contradicciones.

Saludos,

[danielschkzamian]

al final terminé más confundido que antes y encima nos fuimos de la paradojo a la geometría euclidiana y no euclidiana! jajaja . y todo porque yo tomé ese ejemplo jajajaja

bueno, entonces al final yo tenía razón! una contradice a la otra! pero las dos tienen sus fundamentos, posturas, axiomas y por lo tanto las dos geometrías son validas!

[Fernando Mazzone]

Hola Daniel.

La verdad hay que estudiar un poco para entender la filosofía moderna de los sistemas axiomáticos y atribuirse razones propias o errores ajenos.

Muy sintéticamente, para la matemámatica moderna un sistema axiomático es un conjunto de afirmaciones de las cuales se deducen otras llamadas teoremas.

La geométría euclideana es el cuerpo teórico que se infiere de un sistema axiomático con el "quinto postulado", del cual hablaron, como uno de sus axiomas y la axiomática de las otras geometrías tiene otro axioma en lugar del quinto.

No hay que confundir la noción de sistema axiomático con el de modelo de ese sistema. Un modelo de un sistema axiomático son objetos y propiedades de estos objetos que satisfacen las reglas de un sistema axiomático.

Cuando un sistema axiomático tiene un modelo se dice que el sistema es consistente, es decir esta libre de contradicciones internas. Lo que hicieron Gauss, Bolyai, Lobatchensky, etc, fue construir modelos de geometrías que satisfacían los 4 primeros postulados pero no el quinto. Cuando uno puede construir un modelo que satisface el sistema axiomático, excepto uno de los axiomas, eso indica que el axioma en cuestión, no se puede eliminar del sistema axiomático, no se puede demostrar ni refutar a partir de los otros axiomas.

En sí..una geometría no niega, ni contradice a otra, son quizas geometrías diferentes, lo que en una vale en la otra no. Para construír un edificio o aún para enviar el hombre a la luna la geometría euclidea anda bárbaro, pero para entender la gravedad ya no.

[Miguel]

Daniel, no hay contradicción porque no se usan en los mismos casos.

Si agarrás un globo terraqueo, con 2 meridianos y el ecuador, podés armar un triángulo esférico que tenga los 3 ángulos internos de 90º(osea que la suma te da 270º).

Sin embargo vos sabés que en los triángulos "planos" la suma de los ángulos internos es exactamente de 180º y no puede ser mayor que eso.

Tambien sabés que en el plano la distancia menor entre 2 puntos es un segmento recto que pase por ambos, cosa que en el espacio-tiempo, eso no es así.

Como ves, estas usando geometrías distintas. Depende de la aplicación la geometría a usar, pero no conviven, asi que no podés hablar de contradicción.

[danielschkzamian]

o sea que en conclusión son dos geometría distintas que desde las bases tienen diferencias y que no se utilizan para los mismos casos.

[Germán Bresciano]

Para que no se queden con la espina.

El problema con el razonamiento contradictorio planteado por Russell es que el conjunto N no está bien definido.

No podemos definir un conjunto simplemente como el conjunto de todos los elementos que cumplen cierta regla si no siempre se sabe si un elemento cumple o no la regla.

En este caso, debido a la recurrencia entre la definición de la regla y la del conjunto, hay elementos que no se sabe si la cumplen o no, por tanto no es una regla válida para definir un conjunto.

Esto tirópor tierra la definición que Cantor había tratado de dar al concepto de conjunto. No toda colección imaginable es un conjunto.

Saludos a todos,

Germán

Esta paradoja realmente me quitó el sueño, pues involucra la base misma de toda la matemática y se me vino todo abajo.

En 1897 Georg Cantor definió el concepto de "conjunto" como "cualquier colección en un todo, M, de objetos definidos y separados, m, de la intuición o el pensamiento. Estos objetos se llaman elementos de M"

Allá por 1900 Bertrand Russell definió conjunto "normal" a cualquier conjunto que no se contenga a si mismo como elemento, mientras que aquellos que son elementos de si mismo son "no normales"

Por ejemplo el conjunto de los conceptos abstractos es un concepto abstracto y por tanto es elemento de si mismo. Es un conjunto no normal.

El conjunto de los objetos celestes no es un objeto celeste. Es un conjunto normal.

Si se define N como el conjunto de todos los conjuntos normales. ¿N es normal o no normal?

Si N es normal entonces debe pertenecer a N (por la definición de N) y por tanto N es no normal (por la definición de conjunto normal).

Si N no es normal entonces debe no pertene a N (por la definición de N) y por tanto N es normal (por la definición de conjunto normal).

Conclusión: es y no es.

Da para pensar.