El Problema de los Conejos...

[Bubamara]

Yo también obtuve 144 parejas, de lo contrario serìa sumar mas de lo mismo!!!!!

besos

Buba

[Fernando Mazzone]

Bueno pues edito mi respuesta, para mi Aldo, Bubamara, Chuli y Gliese tienen razón.

Ahora para ser justo, debo reconocer que la primera respuesta de Chuli también era correcta, 233 parejas. Es el término que sigue en la sucesión de fibonacci

C(13)=C(12)+C(11)=89+144=233

Se me ocurre que Chuli consideró que la primera pareja se reproducía el primer mes y su sucesión venía avanzada en 1, y eso puede venir de una interpretación distinta del enunciado, en todo caso es un detalle sin importancia.

Saludos

[Betelgeus]

Se me ocurre que Chuli consideró que la primera pareja se reproducía el primer mes y su sucesión venía avanzada en 1, y eso puede venir de una interpretación distinta del enunciado, en todo caso es un detalle sin importancia.

Saludos

Yo creo que si suponemos que la primer pareja se reproduce desde el primer mes, la respuesta correcta es como dice Ignacio 376, y agrego otro excel...

conejos.xls

[Fernando Mazzone]

Hola Betelgeus:

El resultado 376 lo obtenían sumando todos los resultdos parciales de cada mes. Pero los resultados parciales ya eran el total acumulado. Asi si los sumas a todos, a la pareja original la contas 12 veces., en vez de una. Si en vez de 12 meses son 13 el resultado es lo que dijo Eduardo 233.

Saludos

[Miguel]

Buenos días estimados!

Disculpen mi demora en defender mi opinión, pero estuve dandole vueltas al asunto buscando la mejor forma de representarlo y que fuera claro para todo el mundo. Se hicieron varios intentos pero la cuestión no quedó clara del todo.

Así que buscando una forma que no precisara explicaciones extras, se me ocurrió encarar el problema al reves, es decir comenzando desde el mes 12, continuando por el 11, 10, etc hasta llegar al 1ero. (que obviamente es análogo al problema original pero más sencillo de representar).

Como podrán ver no hizo falta llegar al principio, pues de nuevo aparece la sucesión de Fibonacci!

Pero me parece que ahora quedó claro que los números de cada etapa o mes, son los producidos en ese mes, y que para saber cuantos hay en un año, hay que sumar los parciales, quizás la confusión viene por que para obtener cada término de la sucesión hay que sumar los 2 anteriores.

No tengo escaner así que les armé un dibujo en excel que creo es comprensible a simple vista.

Saludos

Conejos arbol.xls

[Fernando Mazzone]

Querido cumpa, no entiendo muy bien tu argumento.

Chicos hagamos un experimento más simple. Supongamos que en vez de 12 meses son 3 meses.

Quedamos de acuerdo, creo que nadie discute eso, que hay que armar tèrminos que son la suma de los dos anteriores. La duda es si después los términos obtenidos de esa manera hay que sumarlos a todos o no.

El primer mes hay una pareja(la original), el segundo hay una pareja (no hay que sumar lo que hay el primer mes con lo que hay en el segundo porque es la misma pareja) y el tercer mes hay dos parejas (la original y una descendiente) ¿no?

Se nos forma la sucesión

1 1 2

El tercer mes es la suma de los dos anteriores, Ahora, cuantas parejas hay en el tercer mes, como ya dijimos hay dos, y no 4 que resultaría de sumar todos los términos de la sucesión 1, 1, 2 .

Quieren probar una mes más, el cuarto. Allí solo se reproduce nuevamente la original, pues su descendiente todavía no pocreo, Como había dos en el mes tres y se reproduce solo 1 entonces habrá tres en el mes cuatro, justamente la suma de los dos meses anteriores.

1,1,2,3

y no 7 que resultaría de sumar todos los términos de la sucesión.

Saluditos.

[Miguel]

Querido Colega y amigo.

Estuve entretenido completando la tabla, que de por si se va complejizando, hice hasta el mes 4 (osea 12,11,10,9,8,7,6,5,4), dejé los más grande sin hacer porque me cansé!!!!!

No es dificil de entender, lo que hice fue pensar la siguiente situación: en el mes 12, el 1er conejo forma una pareja que no alcanza a reproducirse.

En el mes 11, tiene otra pareja, que tampoco alcanza a reproducirse.

En el mes 10 tiene otra pareja que si alcanza a formar otra pareja.

Y así siguiendo el razonamiento se va completando la tabla.

Esta tabla, a medida que la confeccionaba me dí cuenta que tiene cosas asombrosas, por ejemplo, si sumo lateralmente los conejos que hay en cada mes, obtengo otra vez a Fibonacci!

Tambien, en cada mes en particular, si sumo la cantidad de columnas que ocupan las camadas, obtengo el número de Fibonacci anterior!

Muy interesante todo.

Bueno, creo que ahora se hace aún más facil ver que para obtener la cantidad total de parejas hay que sumar los parciales. :D

Conejos arbol.xls

[Fernando Mazzone]

No sé ya que decir, insisto en que el problema es que sumas todas las caritas de tu tabla, pero no hay una correspondencia 1 a 1 de caritas con parejas de conejos ya que varias caritas representan la pareja inicial en distintos momentos.

Hago un último intento y me doy por vencido

En el mes uno hay 1 pareja inmadura

En el mes 2 hay 1 madura

Supongo que todos estarán de acuerdo con esto, nadie va a decir que hay 2 parejas sumando el resultado del mes uno con el dos. Ahora yo me pregunto si esto es así en el mes dos, porque los suman a todos en el mes 12?. Porqué en ningún mes intermedio hicieron la suma de todos los anteriores? Porque eso lo hacen justo con el 12? No se lo veo tan claro como el agua.

Pero sigamos

En el mes 3, al fin la pareja inicial se reprodujo y tenemos dos parejas

1 inmadura y 1 madura

Nadie va a decir que hay cuatro parejas, sumando los resultados de los primeros 3 meses, ya que como se darán cuenta la pareja madura es la misma pareja que viene del primer mes. Aparte de que con este análisis vamos obteniendo el total de conejos que hay.

En el mes 4 se reprodujo la inicial de nuevo y la otra maduró así tenemos

1 inmadura y 2 maduras es decir 3 parejas

Y no la suma de totos los meses anteriores, que es 7. Ya que hay una pareja que es la inicial que está en todos los meses, y la que maduró ya es la misma que la de los dos meses anteriores.

Si al cabo de un año suman los resultados parciales a la pareja inicial la cuentan 12 veces a la que nació en el mes 3 la suman 10 veces, etc, etc.

Otra cosa es que no es sorprendente Miguel que te aparezcan los números de Fibonacci en tu tabla, cuando sumas por filas, eso es porque las filas de tu tabla son la solución del problema.

Miguel, no te lo dije con mala onda, pues no entendí la numeración en la tabla, ni los números que ponés, ni (lo más importante) que tiene que ver la tabla con el 376. Lo que si me parece darme cuenta es que sumás la cantidad total de caritas y eso no está bien.

No se maten haciendo tablas para los 12 meses ni haciendo el análisis de atras para adelante. Hagan el análisis en unos poquitos meses y después diganme si es cierto o no que suman todos los números de fibonacci anteriores. Digamos 3 o 4 meses. Se van a dar cuenta que no.

Por último, sino me creen, busquen en la web y van a encontrar infinidad de sitios donde explica el problema y su solución 144. p.ej.

http://www.interactiva.matem.unam.mx/au ... nejos.html

Saludos.

Editado 29 de Mayo del 2008 por Invitado

[Betelgeus]

Hola, no sé los demás pero yo estoy convencida de que la respuesta es 144 (en realidad las parejas producidas son 143 + una que ya existía: 144). El tema es que muchos no entendimos bien el enunciado y pensamos que desde el primer mes la pareja inicial ya comenzaba a reproducirse y he aquí el problema: algunos dicen que de ser así al final habría docientas y pico parejas, por mi parte creo que el número es 376 (+ una que ya existía 377).

[Fernando Mazzone]

Bien Marcela. Ahora entiendo tu punto, empezas con 2 parejas de conejos, o lo que es lo mismo te vás a 14 meses, y la respuesta final es el 14 número de fibonacci que es 377.

A un resultado parecido se llega, y yo creo que de ahí parte la confusión, si se suma todo los números de fibonacci del 1 al 12, en realidad se llega a 376. Yo creo que empezar de 1 o 2 parejas (o ir a 14 meses) es intrascendete, ahora decir que hay que sumar todos los números de fibonacci es un error conceptual y conduce a un error de cálculo pues se obtiene 376 y no 377 que sería el resultado de empezar con 2 parejas

La proximidad no es casual, por el siguiente problema que les dejo. Denotemos por F(n) al enésimo número de Fibonacci, es decir

F(1)=1;

F(2)=1;

y

F(n)=F(n-1)+F(n-2)

Problema Justificar la siguiente fórmula

F(1)+F(2)+F(3)+.........+F(n)=F(n+2)-1

LA veracidad de esta fórmula hace que cuando sumaban todos los resultados "parciales" F(1)+F(2)++....+F(12) el resultado fuese 376=F(14)-1 (Pues F(14)=377).

Un abrazo

[Chuli]

Como dice Fer, con porotos se solciona. Hay que olvidarse de Fibonaci y su sucesión y contar porotos!!!!!!!!

[Fernando Mazzone]

Eduardo:

Lo de los porotos que mencioné lo dije en serio. Es la siguiente simple propuesta, que me parece se puede llevar a cabo muy rapidamente.

Junten una cantidad de objetos suficiente (porotos o lo que sea) y dos vasos.

Llamemos a los vasos A y B.

Cada poroto representará una pareja. Los vasos representarán el estado en el que se encuentra la pareja. A saber:

En el vaso A vamos a colocar las "parejas-porotos" que deben aguardar que pase un mes para procrear.

En el vaso B las "parejas-porotos" que están listas para procrear.

Entonces la regla de reproducción se puede ver de esta forma.

R1)Un poroto en el vaso A al mes siguiente pasa al vaso B. Es decir ya cumplió con el tiempo de maduración.

R2) Un poroto en el vaso B, al mes siguiente queda en el B pero se reproduce es decir hay que agregar un poroto al vaso A.

Obviamente hay que aplicarle estas reglas a cada poroto de los 2 vasos.

Si siguen estas reglas por 12 pasos, la cantidad de porotos que al final quedan en el vaso A más los de B es la solución del problema.

Veamos

Mes 1) Un poroto en el vaso A

Mes 2) Un poroto en el vaso B. por la regla R1 hay que pasar el poroto en A a B, la R2 no se aplica porque no hay nada en el vaso B.

mes 3) 1 en A y 1 en B . R1 no se aplica pues (en el mes 2) no hay nada en el A y por R2 se deja el poroto de B en B y se agrega uno al A.

mes 4) 1 en A y 2 en B. Por R1 paso el poroto de A a B y por R2 dejo uno en B y agrego 1 en A.

Siguiendo de esta forma, yo creo que se forma esta sucesión:

mes 5) 2-A ; 3-B

mes 6) 3-A ; 5-B

mes 7) 5-A; 8-B

mes 8 ) 8-A; 13-B

mes 9) 13-A; 21-B

mes 10) 21-A; 34-B

mes 11) 34-A; 55-B

mes 12) 55-A; 89 -B

Vale decir quedaron 144=89+55 parejas.

Fijensé que de este modo podemos comprender la regla que dice que las parejas de un mes determinado son la suma de los dos anteriores.

Pues noten que:

Los porotos que en un mes se forman en el vaso B se obtienen dejando los que tiene B en el mes anterior y llevando los de A a B. De este modo,

C1: la cantidad de porotos que hay en un mes en el vaso B es la misma que las que hay en en el A más la de B en el mes anterior. Vale decir en B queda el total de "parejas-porotos" del mes anterior

¿Cuántos porotos nuevos se agregan en un mes ?

C2: Se agrega la misma cantidad que hay en B en el mes anterior

Paremonos en un mes cualquiera, digamos el 100. Entonces :

Según C2 en el mes 100 tengo los porotos del mes 99 más los que tengo en el vaso B en el mes 99.

Pero por C1 en el vaso B en el mes 99 tengo lo de los dos vasos del mes 98. Es decir todos los del mes 98.

Así lo que tengo en el mes 100 es lo que tengo en el 99 más lo del 98.

Por último quería agregar que quizas no fue oportuno mi comenterio sobre los porotos, si explicar a que me estaba refiriendo. Por eso edité mi mensaje.

Un abrazo.

[Baxter]

ya los veo a vos y miguel contando porotos en traslasierra...

[Chuli]

Y yo lo tomé en serio también!

Lo de olvidarse de Fibonaci lo dije porque el problema me parece que se transformó en algo mecánico en vez de pensado, y con porotos queda clarísimo!!! Pone sobre la mesa lo que tenemos y vamos agregando lo que se suma y así al final de año hay lo que hay

Saludos!!!

[Miguel]

Yo llevo la gráfica el lleva los porotos!

Pero seguro que no le damos bola, preferimos compartir una buena noche entre amigos.

Fer, perfectamente comprendida tu intención, gracias por tu aclaración.

Abrazos

[nahuster]

Hola,

Mira, lo acabo de hacer, luego me fijo en mi casa con tiempo.. porque estoy en el laburo.. y la verdad que.. NO DA:. =P

lo que hice fue lo siguiente

H= hijos

Pareja

0____12Ha

1a____9Hb

1b____7Hc

1c____5Hd

1d____3He

1e____1Hf

entonces. 12x9x7x5x3x2+1 = me dio un total de 22.681 parejas..

No se si me fui un poquito al carajo..

despues lo veo =P

[nahuster]

Sip.. me fui al joraca!!!

=(

[nahuster]

LISTO, (el jefe se fue )

es 144...

Ya que va siguiendo la sucesion de Fibonacci..

0.1.1.2.3.5.8.13.21.34.55.89.144

el 2 empieza en el tercer mes

y va sumando las parejas anteriores..

...

Por favor avisenme si está bien o no

Saludos

[Miguel]

Hola Nahuel!

Efectivamente es asi, y es un clásico ejemplo que uso Fibonacci para explicar una aplicación de su sucesión.

Saludos!

[darokal]

Si... toda la discusión era una interpretación del enunciado.

Es decir: la pareja inicial, nace el primer mes? es bebe el primer mes? es fertil el primer mes?

Por las dudas subo un excel que hice que creo que está muy claro y plantea las distintas interpretaciones.

Saludos.

conejos - alternativas.xls