Usando las Leyes de Kepler

[El Duo de Dos]

El objetivo es calcular la relación entre las masas del Sol y de la Tierra. De paso utilizaremos el valor de la distancia Tierra-Luna que calculamos durante el eclipse.

Recomendamos la lectura del post:

about5135.html.

Precisemos, para ello, el contenido de la Tercera Ley de Kepler. Esta ley nos permite encontrar la relación buscada.

Una elipse es una figura del tipo siguiente

Hay algunos elementos en una elipse que resaltaremos. La longitud de su semieje mayor, que hemos indicado con a en el dibujo y es la longitud mas larga que separa a un punto sobre la elipse al centro de la elipse. El foco (de los cuales hay dos uno a cada lado del centro) y la excentricidad e que es la razón entre la distancia del foco al centro y el semieje mayor, así la distancia del foco al centro es a x e. Cuando la excentricidad es igual a 0 el foco está en el centro y la elipse es una circunferencia. De modo que la excentricidad mide cuan “aplastada” está la elipse. Normalmente los planetas tienen una excentricidad muy pequeña.

La primera Ley de Kepler afirma que la forma de las orbitas de los planetas es una elipse con el Sol en uno de los focos. Las leyes de Kepler se aplican al Sol o a cualquier cuerpo orbitando sobre otro, por ejemplo Luna y Tierra. Así la Luna orbita a la Tierra en una elipse con la Tierra en uno de sus focos.

La tercera Ley tiene un enunciado más cuantitativo. Si un cuerpo de masa m orbita sobre otro de masa M y T es el periodo orbital y a el semieje mayor de la órbita, entonces

(1) K x (M+m)=a^3/T^2

En donde K es una constante de la cual no vamos a necesitar decir nada más que eso. Aquí a^3 significa a al cubo es decir a^3=a x a x a. La ecuación anterior es en realidad una generalización de la inicialmente formulada por Kepler.

Llamemos

Ms= masa del Sol

M =masa de la tierra

m =masa de la luna

a=semieje mayor de la órbita de la Tierra alrededor del Sol.

b= semieje mayor de la órbita de la Luna alrededor de la Tierra.

T=periodo de la orbita de la Tierra en rededor del Sol.

t= periodo de la orbita de la Luna alrededor de la Tierra.

Entonces tenemos dos ecuaciones

K x (Ms+M)=a^3/T^2

K x (M+m)=b^3/t^2

Ahora supongamos que la masa del Sol es tan grande respecto a la de la Tierra y la de la Tierra tan grande respecto a la de la Luna que podemos reemplazar Ms+ M por Ms y M+m por M. Luego tenemos.

K x Ms=a^3/T^2

K x M =b^3/t^2

Dividiendo miembro a miembro estas ecuaciones queda

Ms/M= (a/b)^3 x (t/T)^2

Que nos da la buscada relación entre la masa del sol y la tierra.

Ahora bien, lo que necesitamos averiguar son periodos orbitales T , t y los semiejes mayores a y b. T y t son fáciles de determinar por observación y todos sabemos que valen aproximadamente T=365 días y t=27 días. ¿Cómo calcularíamos el semieje mayor b? Pues bien, supongamos que la excentricidad de la orbita de la Luna es 0, con lo cual la elipse sería una circunferencia y la Tierra estaría en el centro, de modo que b sería la distancia Tierra-Luna. Usemos como valor de b la distancia Tierra-Luna que calculamos durante el eclipse 393676Km.

La distancia Tierra-Sol es más difícil de calcular, no obstante no nos resignamos a no calcularla e invitamos a todos los que quieran a buscar ideas de cómo podríamos hacerlo. Usemos como valor aproximado 150.000.000 km.

Así nos que da que:

Ms/M= (150000000/393676)^3 x (27/365)^2=302690

Es decir que la masa del Sol es 302690 veces la de la tierra. Consultando la Wikipedia vemos que Ms=1,9891 × 10^30 kg y M=5,974 × 10^24 kg lo que da

Ms/M=332959.

Como ven un valor bastante aproximado al que obtuvimos. Para mejorar nuestra aproximación deberíamos mejorar los datos que introducimos, por ejemplo calcular el semieje mayor de la orbita Tierra-Luna con más precisión y esto no nos sería tan difícil de hacer.

Así es que proponemos estos deberes, de modo de lograr que nuestros cálculos dependan lo más posible de nuestras observaciones.

Calcular la distancia Tierra-Sol. Esto parece difícil, en verdad estuvimos averiguando y no encontramos una forma de hacerlo con nuestros equipos de aficionado. La mayor dificultad radica en que cuando se aprecia el Sol no se aprecia otro astro. Hay algunos métodos que se pueden aplicar durante el transito de Mercurio y Venus sobre el disco solar, pero son fenómenos poco frecuentes. Como dijimos invitamos a todos a buscar ideas.

Pero empecemos por lo más fácil. Calcular el semieje mayor de la órbita de la Luna sobre la Tierra, que es igual a la distancia media Tierra-Luna. Esto es más sencillo. Como ya calculamos la distancia Tierra-Luna en un momento dado y teniendo en cuenta que la distancia Tierra-Luna es, aproximadamente, inversamente proporcional al tamaño aparente del disco Lunar, la distancia Tierra-Luna en cualquier momento se puede calcular de la siguiente forma:

d=tan(a)*d’ /tan(b);

donde d’ es la distancia que hemos medido durante el eclipse, a es el ángulo aparente del disco Lunar en aquel día, b ese mismo ángulo aparente en el día que queramos medir.

El propósito sería sacar fotos de la Luna en distintos momentos y calcular la distancia media. De paso averiguaríamos la excentricidad de la orbita lunar.

Asi mismo otra actividad interesante sería intentar calcular con precisión el periodo orbital de la Luna.

¿Quién se prende con estas cosas?

[Jorge Di Tata]

Hola duo.

Está muy interesante la propuesta, es un lindo desafío.

Yo me engancharía, lo que no me queda claro (más alla de varios cálculos que volveré a leer.......) con que hay que colaborar: con fotos only / con cálculos también (que es otra historia.......)

Un abrazo al duo

Jorge

[Fernando Mazzone]

Hola Jorge:

Tenés razón, no quedo muy clara cual es la propuesta. Teníamos idea de contarlo en otro post, pero claro, no dimos una pista de lo que proponemos.

La cuestión se puede sintetizar así: estudiar la evolución de la distancia a la luna en el tiempo. Para eso proponemos fotografiar la luna, cuando puedan no haría falta un momento específico, pensamos que si varios se prenden tendremos una muestra bastante grande y distribuida en el tiempo.

Las fotos deberían ser del disco completo y no se necesitan estrellas de fondo.

No sería imprescindible que aporten calculos, pero para nosotros sería una alegria enorme que lo hagan :wink Igual nosotros los verificaríamos.: Los cálculos q ue hay que hacer son

1) determinar el ángulo aparente del diámetro lunar. Esto es muy sencillo de hacer, lo hemos explicado en otros post y lo podemos volver a hacer.

2) A partir de este ángulo inferir la distancia a la Luna por la formulita que dimos y usando el valor de la distancia lunar que calculamos el día del eclipse.

No obstante, danos unos días que armamos un post explicando detalladamente estas cuestiones

Abrazos