La diferencial no es un incremento infitesimal...

[Johny_tolengo]

Si bien he cursado y aprobado materias tales como cálculo diferencial y física, debo admitir que mi sentimiento es de profunda desazón. Tengo compañeros que, (luego de haber rendido con buenas notas dichas materias), aseguran entenderlas o comprenderlas claramente.

En cálculo nos explican el concepto de derivada, el de límite, etc. Nos enseñan la notación (dx/dy ) y a resolver integrales. En materias como ecuaciones diferenciales nos enseñan los distintos métodos para resolver diferentes ecuaciones diferenciales.

Luego, en física, aplicamos esos “conocimientos” en forma mecanística y robotizada. Lo cierto es que si me preguntan que es un o una diferencial, cuando es necesario el uso de diferenciales en la física, o porqué es necesario su uso, se me viene abajo toda la estantería.

Es por ello que buscando en internet encontré, entre otros, el artículo que a continuación adjunto. Trata de dar una visión global de este problema que planteo, que por lo que veo, no es solo mío. Parece que muchos estamos en la misma. Jeje

Saludos y espero sea de interés para varios de ustedes.

21644.pdf

Editado 1 de Julio del 2009 por Invitado

[Alvarez]

Aún no le he leído pero parece interesante, cuando lo termine te contaré que me pareció. Gracias por el aporte.

[Miguel]

Idem

Gracia Johny por compartirlo

[Pato]

Muy bueno johny! Gracias por compartir esto!

Saludos! Pato!

[Sincrotimix]

Excelente. Está para leerlo tranquilito, cuando los chicos se duerman...

[Johny_tolengo]

Aquí el trabajo ampliado.

Me gustaría que aquellos que hayan estudiado cálculo y física comenten sus experiencias. (No quiero sentirme solo en este mundo )

Análisis de la utilización y comprensión... ED ABIERTA.pdf

[Alvarez]

Quedate tranquilo que no estás sólo, hay como cinco o seis más. Pero danos tiempo, no nos apures que si no nos derivamos. O como dijera famoso peluquero, no me peguen que soy ... algebrista.

[dariopiroddi]

Jonhy.. lo voy a leer ahora en las vacaciones y te lo comento.

Ale... acá hay que "integrar".. jaja (solo para entendidos.. puff)

Saludos!!!

[Sincrotimix]

¿Da para poner acá el viejo chiste de la fiesta de las funciones?

[Alvarez]

No sé si da, pero lo que sí es cierto es que está muy bueno.

[dariopiroddi]

¿Da para poner acá el viejo chiste de la fiesta de las funciones?

Acá es el lugar propicio... o si no que los moderadores lo muevan a otra parte.. (alguna vez tienen que trabajar.. jaja)

Saludos!!..

[Sincrotimix]

Lo interesante del chiste es que tiene su versión integral y su versión diferencial. Aunque asumo que si Newton y Leibniz vivieran (tipos pocas pulgas los dos), nos demandarían por uso indebido del cálculo...

Igual, vamos a mantener la seriedad de este espacio para integrar comentarios al interesante artículo que acercó Johnny y derivar de allí conclusiones (¡cuac!)

[Johny_tolengo]

Lo interesante del chiste es que tiene su versión integral y su versión diferencial. Aunque asumo que si Newton y Leibniz vivieran (tipos pocas pulgas los dos), nos demandarían por uso indebido del cálculo...

Igual, vamos a mantener la seriedad de este espacio para integrar comentarios al interesante artículo que acercó Johnny y derivar de allí conclusiones (¡cuac!)

Claro que todo esto será posible solo mediante la ultilización de ¿diferenciales?

Ahora hablando en serio, entre las fórmulas y ecuaciones hay algunas que me parecen medias turbias, jaja. no alcanzo a entender como intenta demostrar ciertas cosas.

[Johny_tolengo]

Buenos días.

Retomo este hilo porque creo que el concepto de diferencial es uno de los conceptos más importantes en el cálculo diferencial; y, es a través de éste, que se desarrolla la gran mayoría de las expresiones diferenciales (es decir, las ecuaciones diferenciales) que modelan matemáticamente los fenómenos físicos.

Adjunto archivo en PDF ya que contiene algunas fórmulas.

Espero que podamos seguir debatiendo sobre estos conceptos tan importantes

Diferenciales.pdf

[aguss]

Que interesante!! Según mi experiencia, algunos profesores de física, bastantes desprolijos matemáticamente, simplemente "cancelan" diferenciales como si fueran un cociente. Una vez le preguntamos por qué lo hacía y nos dijo que es un abuso de notación...

Después un amigo hizo una materia de geometría diferencial y las cosas se simplifican al ver al diferencial como una aplicación lineal.

Estoy de acuerdo que es la única aproximación lineal, porque de hecho eso lo podemos demostrar con Taylor.

También concuerdo que la forma correcta de llegar a un resultado físico es tomando como hipótesis una ecuación diferencial que modele la realidad. Esto lo vemos mucho mejor en las materias de física experimental, donde notamos que la realidad es mucho más compleja que las aproximaciones que realizamos. Entonces creamos un modelo para explicar la realidad, y lo cierto es que sólo manejamos ciertas variables que son características del problema.

Para ir un poquito más allá, creo que esta cuestión viene atada a un problema epistemológico más general, que tiene que ver con el sistema científico. Muchas veces escuché de físicos que hacían aproximaciones matemáticas sin ningún sentido físico, con tal de poder escribir algún paper. O mismo en la docencia, ver profesores que omiten indicar si un sitema físico, o una regla, se puede estudiar o aplicar a sólo un caso particular.

Por último, no entedí del todo qué te parece la interpretación geométrica de un diferencial.

Saludos!

[Johny_tolengo]

Por último, no entedí del todo qué te parece la interpretación geométrica de un diferencial.

Saludos!

Geométricamente, la diferencial es una línea recta. Es justamente la tangente a una curva en un punto dado de la misma.

[aguss]

Vamos a ver si puedo reformular mi pregunta:

La tangente a una curva en un punto dado, es la derivada de la función de dicha curva, evaluada en dicho punto. Ahora bien, el diferencial tiene como interpretación geométrica la elevación de la tangente. Hasta acá todo bien.

Yo quería saber qué pensabas acerca de cómo se llega a esto. Para mí es correcto.

[Johny_tolengo]

Vamos a ver si puedo reformular mi pregunta:

La tangente a una curva en un punto dado, es la derivada de la función de dicha curva, evaluada en dicho punto. Ahora bien, el diferencial tiene como interpretación geométrica la elevación de la tangente. Hasta acá todo bien.

Yo quería saber qué pensabas acerca de cómo se llega a esto. Para mí es correcto.

Buenas tardes Aguss.

Perdón pero no entiendo cuál es la pregunta. Por favor, desearía que la reformules para poder dar una respuesta si es que la tengo

Un saludo.

[aguss]

Simplemente si estás de acuerdo que la interpretación geométrica del diferencial es la elevación de la tangente en el punto de la curva jejeje

[Johny_tolengo]

Simplemente si estás de acuerdo que la interpretación geométrica del diferencial es la elevación de la tangente en el punto de la curva jejeje

Sí, estoy de acuerdo en ello. Es más, esa elevación depende del punto (x) del dominio de la función en el que se evalúa aquella y del tamaño del (delta x), o lo que es lo mismo, (dx).

Por ello, la diferencial de una función (dy) es una aproximación lineal al incremento real de la función (delta y). Aproximación que es lineal y función de (x) y (delta x). En otras palabras: dy(x, delta x)

Pregunta: ¿existe en el foro una manera más elegante de expresar fórmulas y ecuaciones?

Saludos

[aguss]

Ah entonces estamos de acuerdo en todo!! Está muy bueno para aplicarlo en la docencia cuando nos toque ser docntes!

Para expresar fórmulas en el foro no conozco. Se podría hacer con Latex y subir el adjunto, o simplemente algun editor de fórmulas y subir la imagen. Saludos!

[Johny_tolengo]

A modo de ejemplo:

Aclaración: Se asume que el fenómeno en estudio puede ser entendido mediante una expresión funcional de una variable independiente: y=f(x)

Supongamos que nuestro trabajo como "físicos" es explicar en términos matemáticos, (mediante un modelo), el comportamiento de cierto fenómeno natural aún no explicado por la ciencia.

Con lo poco que conocemos del mismo, intuimos que puede ser modelado mediante una expresión matemática del tipo: y=f(x) , pero, desgraciadamente, la desconocemos. Lo que sí sabemos (nuevamente, por nuestro escaso entendimiento del fenómeno) es que el comportamiento de la variable dependiente (y) no es lineal en relación a la variable independiente x . Esto quiere decir, sin dudas, que la gráfica de la relación funcional buscada y=f(x) no es una línea recta, sino, más bien, una curva de algún tipo.

Este aspecto determina que debamos recurrir al Cálculo Diferencial, y, en particular, al uso de diferenciales.

Insisto: No conocemos cuál es la función que describe el fenómeno en estudio: y=f(x) . Mucho menos hemos de conocer su derivada y'=f'(x) . Sin embargo, gracias a los datos obtenidos en los ensayos de laboratorio, tenemos la sospecha de que la expresión diferencial dy=2xdx, entre otras sugeridas inicialmente, puede ser la expresión diferencial que mediante integración nos permita encontrar la función buscada, es decir, la que describe el fenómeno en estudio. (Rodolfo había propuesto inicialmente la expresión dy=xdx , José la expresión dy=(x)^(1/2)dx y María propuso la expresión sospecha de ser la correcta.

Para que ésta expresión diferencial propuesta por María, (seleccionada de entre conjunto de expresiones diferenciales sugeridas por el grupo de investigación), sea realmente la que concluya como modelo matemático que describe el fenómeno, debe cumplir un conjunto de condiciones:

*Debe ser una estimación LINEAL del incremento de la función buscada,

*Debe ser función de x y dx

*Y debe cumplir la siguiente condición: dy=f'(x)dx

Pero claro, no conocemos y=f(x) ni y'=f'(x). ¡De eso se trata justamente!. De encontrar una expresión diferencial que cumpla con la condición de ser idéntica a la derivada de la función incógnita, aquella que tanto buscamos y que describe el fenómeno analizado.

Obviamente, la expresión diferencial correcta será UNICA, porque una única expresión diferencial mediante integración puede concluir en la función incógnita.

Particularmente, si el fenómeno analizado puede ser explicado adecuadamente mediante una expresión funcional como y=x^2, entonces la expresión diferencial sugerida por María será la correcta, puesto que, mediante el proceso de integración de dicha diferencial se obtendrá y=x^2.

Se puede interpretar así: dy es el incremento sufrido por la expresión diferencial dy=2xdx para un incremento dx dado.

Pero como la expresión diferencial dy depende tanto de x y dx; para asignarle un valor determinado tenemos que decidir primeramente cuáles serán los valores de x,dx a utilizar para llevar a cabo dicha evaluación

Tomemos el punto P(2,4) perteneciente a la gráfica de y=x^2. Si dx=1 (No debe ser necesariamente infinitamente pequeño), entonces dy=2xdx=2*2*1=4

Si se observa, dy=4 es lo que crece la recta tangente a la gráfica y=x^2 en el punto P(2,4) si consideramos un incremento diferencial dx=1

Espero no haberme equivocado en los procedimientos. Por favor, corregir si estoy equivocado.

Saludos